【題目】設橢圓
的離心率為
，以橢圓四個頂點為頂點的四邊形的面積為
.
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的右焦點
作直線
與E交于A，B兩點，O為坐標原點，求
面積的最大值，并求此時直線的方程.
【答案】（1）
；（2）
面積的最大值為
，此時直線
的方程為：
.
【解析】
（1）利用橢圓四個頂點構成的四邊形面積、離心率和橢圓
關系可構造方程組求得，進而得到橢圓方程；
（2）①當直線
斜率不存在時，易求得
；②當直線斜率存在時，假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，利用弦長公式求得
，利用點到直線距離公式求出
，從而得到，利用函數(shù)求最值的方法可求得的范圍；綜合兩種情況可得最終結果.
（1）
以橢圓四個頂點為頂點的四邊形的面積為
，
，
即
…①，又
…②，
…③，
則①②③聯(lián)立可求得：
，
，
，
橢圓
的方程為：.
（2）①當直線斜率不存在時，則方程為，
，
；
②當直線斜率存在時，可設其方程為：
，由題意可知：
，
由
得：
，
設
，
，則
，
，
，
又原點到直線距離
，
，
令
，則
，
，
，
，
，
，
綜上所述：面積的最大值為，此時直線的方程為：.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩人在相同的條件下投籃5輪，每輪甲、乙各投籃10次，投籃命中次數(shù)的情況如圖所示（實線為甲的折線圖，虛線為乙的折線圖），則以下說法錯誤的是（ ）
A. 甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)比乙的小
B. 甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比乙的小
C. 甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)比乙的大
D. 甲投籃命中的成績比乙的穩(wěn)定
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某旅游區(qū)每年各個月份接待游客的人數(shù)近似地滿足周期性規(guī)律，因而第
個月從事旅游服務工作的人數(shù)
可近似地用函數(shù)
來刻畫，其中正整數(shù)表示月份且
，例如
表示1月份，
和
是正整數(shù)，
，
. 統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數(shù)有以下規(guī)律：
① 每年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)基本相同；
② 該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人；
③ 2月份該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.
（1）試根據(jù)已知信息，求的表達式；
（2）一般地，當該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)在400或400以上時，該地區(qū)也進入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】給定函數(shù)
和
，若存在常數(shù)
，
，使得函數(shù)和對其公共定義域
的任何實數(shù)
分別滿足
和
，則稱直線
：
為函數(shù)和的“隔離直線”，給出下列四組函數(shù)：
（1）
，
； （2）
，
；
（3）
，
； （4）
，
；
其中函數(shù)和存在“隔離直線”的序號是（ ）
A.（1）（3）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（2）（4）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國內(nèi)得到迅速推廣.最近，某機構在某地區(qū)隨機采訪了10名男士和10名女士，結果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.
（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車出行”的概率；
（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車出行”的人數(shù)為
，求
的分布列與數(shù)學期望.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了調查某大學學生的某天上網(wǎng)的時間，隨機對
名男生和名女生進行了不記名的問卷調查.得到了如下的統(tǒng)計結果：
表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時間（分鐘） |
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人數(shù) |
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表2：女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時間（分鐘） |
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人數(shù) |
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（1）用分層抽樣在
選取
人，再隨機抽取
人，求抽取的人都是女生的概率；
（2）完成下面的
列聯(lián)表，并回答能否有
的把握認為“大學生上網(wǎng)時間與性別有關”？
上網(wǎng)時間少于 | 上網(wǎng)時間不少于 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
附：
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知圓M：
與
軸相切．
(1)求
的值；
(2)求圓M在
軸上截得的弦長；
(3)若點
是直線
上的動點，過點作直線
與圓M相切，
為切點，求四邊形
面積的最小值．
【答案】(1) 
(2) 
(3) 
【解析】試題分析：(1)先將圓的一般方程化成標準方程，利用直線和圓相切進行求解；(2) 令
，得到關于的一元二次方程進行求解；(3)將四邊形的面積的最小值問題轉化為點到直線的的距離進行求解.
試題解析：(1) 
∵圓M：
與軸相切
∴
∴
(2) 令，則
∴
∴
(3) 
∵
的最小值等于點
到直線的距離，
∴
∴
∴四邊形面積的最小值為．
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】在平面直角坐標系
中，圓
的方程為
，且圓
與
軸交于
， 
兩點，設直線
的方程為
．
（1）當直線
與圓
相切時，求直線
的方程；
（2）已知直線
與圓
相交于
， 
兩點．
（ⅰ）若
，求實數(shù)
的取值范圍；
（ⅱ）直線
與直線
相交于點
，直線
，直線
，直線
的斜率分別為
， 
， 
，
是否存在常數(shù)
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】
是衡量空氣污染程度的一個指標，為了了解
市空氣質量情況，從
年每天的值的數(shù)據(jù)中隨機抽取
天的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示.將值劃分成區(qū)間
、
、
、
，分別稱為一級、二級、三級和四級，統(tǒng)計時用頻率估計概率 .
（1）根據(jù)年的數(shù)據(jù)估計該市在
年中空氣質量為一級的天數(shù)；
（2）按照分層抽樣的方法，從樣本二級、三級、四級中抽取
天的數(shù)據(jù)，再從這個數(shù)據(jù)中隨機抽取
個，求僅有二級天氣的概率.
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