Question

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，直線A′B和直線AC、CC′、C′A所成的角的大小分別是α、β、γ，則α、β、γ的大小關系是（　　）

A．β＜α＜γ

B．α＜β＜γ

C．α＜γ＜β

D．β＜γ＜α

Answer 1

分析：將A′B平移到CD′，從而∴∠ACD′為直線A′B和直線AC所成角，在△ACD′中求出此角即可；將CC′平移到B′B，從而∴∠A′BB′為直線A′B和直線CC′所成角，在△A′BB′中求出此角即可；據AB′⊥BA′，AB′⊥B′C′，得出AB′⊥平面AB′C′D，從而AB′⊥C′A．最后比較它們的大小即得．

解答：解：①連接CD′，AD′，CD′∥A′B，
∴∠ACD′為直線A′B和直線AC所成角的大小
△ACD′為正三角形，
∴直線A′B和直線AC所成角為α=60°．

②∵CC′∥B′B，
∴∠A′BB′為直線A′B和直線CC′所成角
△A′BB′為等腰直角三角形，
∴∠A′BB′=45°
∴直線A′B和直線CC′所成角為β=45°；

③∵AB′⊥BA′，AB′⊥B′C′，
∴AB′⊥平面AB′C′D，C′A?平面AB′C′D，C′，
∴AB′⊥C′A，
即直線A′B和直線C′A所成的角為γ=90°．
則α、β、γ的大小關系是β＜α＜γ．
故選A．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．