Question

【題目】已知函數．

（1） 試說明函數的圖象是由函數的圖象經過怎樣的變換得到的；

（2）若函數，試判斷函數的奇偶性，并用反證法證明函數的最小正周期是；

（3）求函數的單調區間和值域.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）偶函數，周期的證明見解析；（3）值域是，增區間為，減區間為．

【解析】

（1）先由二倍角公式和兩角差的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后根據三角函數圖象變換的規律求解；

（2）求出的表達式，由奇偶性定義判斷奇偶性，用反證法證明周期性；

（3）根據（2）中得出的性質，在一個周期內求出函數的值域，即得函數在定義域內值域，求出一個周期內單調區間，根據函數的周期性可得所有單調區間（但要注意區間的連續性）．

（1）由題意，

把圖象向右平移個單位得的圖象，再把所得圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的，得的圖象，最后將所得圖象上所有點的縱坐標變為原來的2倍，橫坐標不變，得的圖象．

（2），

，∴是偶函數，

，是的一個周期，下面用反證法證明是最小正周期，

假設存在是的最小正周期，即恒成立，，

則，，

，

當時，，則，∴，即這與矛盾，∴假設錯誤，

∴是的最小正周期．

（3）由（2），當時，，

由得，，

∴，，

此時當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，

∵的最小正周期是，∴時，函數的值域是．

增區間為，減區間為．