Question

已經函數f(x)=

cos2x-sin2x

2

，g(x)=

1

2

sin2x-

1

4

.
（Ⅰ）函數f（x）的圖象可由函數g（x）的圖象經過怎樣變化得出？
（Ⅱ）求函數h（x）=f（x）-g（x）的最小值，并求使用h（x）取得最小值的x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用誘導公式把函數f（x）中余弦函數轉化成正弦函數，進而利用圖象平移的法則，求得答案．
（Ⅱ）把函數f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中，利用兩角和公式化簡整理，進而根據余弦函數的性質求得函數的最小值以及此時x的集合．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

cos2x=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

sin2(x+

π

4

)，
所以要得到f（x）的圖象只需要把g（x）的圖象向左平移

π

4

個單位長度，再將所得的圖象向上平移

1

4

個單位長度即可．
（Ⅱ）h(x)=f(x)-g(x)=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

4

=

2

2

cos(2x+

π

4

)+

1

4

．
當2x+

π

4

=2kπ+z（k∈Z）時，h（x）取得最小值-

2

2

+

1

4

=

1-2 2

4

．
h（x）取得最小值時，對應的x的集合為{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}．

點評：本題主要考查了三角函數中恒等式變換應用，兩角和公式，圖象的平移等知識點．三角函數中公式多且復雜，平時應注意多積累．