Question

如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求證：平面MOE∥平面PAC.
(2)求證：平面PAC⊥平面PCB.
(3)設二面角M—BP—C的大小為θ，求cos θ的值．

Answer 1

（1）見解析  （2）見解析  （3）

(1)因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以OE∥PA.
因為PA?平面PAC，OE?平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
因為OM∥AC，
因為AC?平面PAC，OM?平面PAC，
所以OM∥平面PAC.
因為OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O，
所以平面MOE∥平面PAC.
(2)因為點C在以AB為直徑的⊙O上，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因為PA⊥平面BAC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
因為BC?平面PCB，
所以平面PAC⊥平面PCB.
(3)如圖，以C為原點，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系C—xyz.

因為∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，
所以CB＝2cos 30°＝，AC＝1.
延長MO交CB于點D.
因為OM∥AC，
所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，
CD＝CB＝.
所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，，0)，M.
所以＝(1,0,2)，＝(0，，0)．
設平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．
因為
所以，即
令z＝1，則x＝－2，y＝0.
所以m＝(－2,0,1)．
同理可求平面PMB的一個法向量n＝(1，，1)．
所以cos〈m，n〉＝＝－.
因為二面角M—BP—C為銳二面角，所以cos θ＝.