Question

如圖，在△ABC中，已知B=

π

3

，AC=4

3

，D為BC邊上一點．
（I）若AD=2，S_△DAC=2

3

，求DC的長；
（Ⅱ）若AB=AD，試求△ADC的周長的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面積公式表示出三角形ADC的面積，把已知的面積，以及AC、AD的長代入，求出sin∠DAC的值，由B的范圍，得到∠BAC的范圍，進而確定出∠DAC的范圍，利用特殊角的三角函數值求出∠DAC的度數，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的長；
（Ⅱ）由B=

π

3

，AB=AD，得到三角形ABD為等邊三角形，可得出∠ADC為

2π

3

，進而得到∠DAC+∠C=

π

3

，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周長，整理后再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由∠ADC的度數，得到C的范圍，可得出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到正弦函數的值域，確定出正弦函數的最大值，即可得到周長的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵S△DAC=2

3

，AC=4

3

，AD=2，
∴

1

2

•AD•AC•sin∠DAC=2

3

，
∴sin∠DAC=

1

2

，（2分）
∵B=

π

3

，∴∠DAC＜∠BAC＜π-

π

3

=

2π

3

，
∴∠DAC=

π

6

，（3分）
在△ADC中，由余弦定理得：DC2=AD2+AC2-2AD•ACcos

π

6

，（4分）
∴DC2=4+48-2×2×4

3

×

3

2

=28，
∴DC=2

7

；（6分）
（Ⅱ）∵AB=AD，B=

π

3

，∴△ABD為正三角形，
∵∠DAC=

π

3

-C，∠ADC=

2π

3

，
在△ADC中，根據正弦定理，可得：

AD

sinC

=

4 3

sin 2π 3

=

DC

sin( π 3 -C)

，（7分）
∴AD=8sinC，DC=8sin(

π

3

-C)，（8分）
∴△ADC的周長為AD+DC+AC=8sinC+8sin(

π

3

-C)+4

3

=8（sinC+

3

2

cosC-

1

2

sinC）+4

3

=8（

1

2

sinC+

3

2

cosC）+4

3

（9分）
=8sin（C+

π

3

）+4

3

，（10分）
∵∠ADC=

2π

3

，∴0＜C＜

π

3

，
∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，（11分）
∴當C+

π

3

=

π

2

，即C=

π

6

時，sin（C+

π

3

）的最大值為1，
則△ADC的周長最大值為8+4

3

．（13分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．