Question

（本小題滿分13分）

已知數列滿足，數列滿足，數列

滿足．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ），，試比較與的大小，并證明；

（Ⅲ）我們知道數列如果是等差數列，則公差是一個常數，顯然在本題的數列中，不是一個常數，但是否會小于等于一個常數呢，若會，請求出的范圍，若不會，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意得：，所以是等差數列，首項，公差，

所以，從而；                        ……………………………3分

（2）由（1）得，構造函數 則

當時，單調遞增，當時，單調遞減，

所以，即，當且僅當時取等號， ………5分

所以，即，當且僅當時取等號，

所以

當且僅當時取等號；                        …………………………………8分

（3）由（1）知，不妨設恒成立，且，

則，等價于，      ………………10分

記，則在上單調遞減，

所以恒成立；

所以     ……………………………12分

記，，所以，

所以在上單調遞增，所以

所以為所求范圍．                ……………………14分