Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)， ，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義， ， ，于是可得切線方程為；（2）本問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，不等式恒成立，設(shè)函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)， 恒成立，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)， ，再令，對(duì)求導(dǎo)， ，通過(guò)對(duì)分區(qū)間討論，使得恒成立，從而得到的取值范圍；（3）首先通過(guò)微積分定理求出，則，由（2）知，當(dāng)時(shí)， ，即，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)證明該函數(shù)的單調(diào)性，易得出在上恒成立，令，于是通過(guò)不等式的放縮，可以得到待證明的結(jié)論.

試題解析：（1）， ，∴切線為

（2） ，令

則

又令

①當(dāng)，即時(shí)， 恒成立，∴遞增

∴，∴，∴遞增

∴（不合題意）

②當(dāng)即時(shí)， 遞減，

∴，∴，∴遞減

∴（符合題意）

③當(dāng)，即時(shí)，由

，∴在上， ，使

且時(shí)， ，∴遞增，∴（不符合題意）

綜上： .

（3）

∴，由（2）知，當(dāng)時(shí)， ，∴，

又令， ，∴遞減

即在上恒成立，令

∴原不等式

∴左式右式

∴得證.