Question

【題目】甲、乙、丙三人參加競答游戲，一輪三個題目，每人回答一題為體現公平，制定如下規則：

①第一輪回答順序為甲、乙、丙；第二輪回答順序為乙、丙、甲；第三輪回答順序為丙，甲、乙；第四輪回答順序為甲、乙、丙；…，后面按此規律依次向下進行；

②當一人回答不正確時，競答結束，最后一個回答正確的人勝出.

已知，每次甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，丙回答正確的概率為，三個人回答每個問題相互獨立.

（1）求一輪中三人全回答正確的概率；

（2）分別求甲在第一輪、第二輪、第三輪勝出的概率；

（3）記為甲在第輪勝出的概率，為乙在第輪勝出的概率，求與，并比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）甲在第一輪勝出的概率為；甲在第二輪勝出的概率為；甲在第三輪勝出的概率為；（3）答案見解析.

【解析】

(1)由事件的獨立性可求出一輪中三人全回答正確的概率.

(2)列舉出三種情況下甲乙丙三人的勝負情況，結合事件的獨立性即可求出概率.

(3)通過計算時甲、乙勝的概率，總結規律，求出，，進而可比較二者的大小關系.

解：（1）設一輪中三人全回答正確為事件，則.

（2）甲在第一輪勝出的概率為；

甲在第二輪勝出的概率為；

甲在第三輪勝出的概率為.

（3）由（2）知；；.

由題意得；；

；

….

所以，當（）時，.

當（）時，；

當（）時，.

同理可得，當（）時，；

當（）時，；

當（）時，.

所以，當（）時，；當（）時，；

當（）時，；