Question

如圖所示,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點,且不與△ABC的頂點重合.已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關于x的方程x²-14x+mn=0的兩個根.

(1)證明:C,B,D,E四點共圓;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.

Answer 1

(1)見解析   (2) 5

(1)證明:連接DE,根據題意在△ADE和△ACB中,

AD·AB=mn=AE·AC,
即=.
又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB,
因此∠ADE=∠ACB,
∴∠ACB+∠EDB=180°,
∴C、B、D、E四點共圓.
(2)解:m=4,n=6時,方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2,x₂=12,故AD=2,AB=12.
取CE的中點G,DB的中點F,分別過G、F作AC、AB的垂線,兩垂線相交于H點,連接DH.
因為C、B、D、E四點共圓,
∴C、B、D、E四點所在圓的圓心為H,半徑為DH.
由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,
從而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,
故C、B、D、E四點所在圓的半徑為5.