Question

下列命題：
①函數y=

x-1

x+1

的單調區間是（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
②函數f（x）=|x|•（|x|+|2-x|）-1有2個零點．
③已知函數f（x）=e^x-mx+1的圖象為曲線C，若曲線C存在與直線y=

1

2

x垂直的切線，則實數m的取值范圍是m＞2．
④若函數f（x）=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax    (x≥1)

對任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，則實數a的取值范圍是（-

1

7

，1]．
其中正確命題的序號為

②③

．

Answer 1

分析：①函數y=

x-1

x+1

（x≠-1），只討論在（-∞，-1）和（-1，+∞）的單調性；
②去掉f（x）中的絕對值，在每一個區間上討論f（x）的零點情況；
③求出曲線C：f（x）的導數，即C的切線斜率，因與直線y=

1

2

x垂直，可得m的取值范圍；
④由命題知f（x）是減函數，從而討論a的取值即可．

解答：解：①∵函數y=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

在區間（-∞，-1）和（-1，+∞）都是增函數，但在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上不是增函數，∴命題①錯誤；
②∵f（x）=|x|•（|x|+|2-x|）-1=

2x2-2x-1  (x≥2) 2x-1     (0＜x＜2) 2x2-2x-1(x≤0)

，∴當x≥2時，f（x）無零點，當0＜x＜2時，f（x）有1個零點，當x≤0時，f（x）有1個零點，∴命題②正確；
③∵曲線C的方程：f（x）=e^x-mx+1，∴f，（x）=e^x-m，由曲線C的切線與直線y=

1

2

x垂直，得（e^x-m）•

1

2

=-1，∴m=e^x+2＞2，∴命題③正確；
④∵f（x）=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax    (x≥1)

，對任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，∴f（x）是減函數，即當x＜1時，有3a-1＜0，∴a＜

1

3

，當x≥1時，0＜a＜1；∴命題④錯誤．
綜上正確命題的序號為②③．
故答案為：②③．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了函數與導數知識的綜合應用，是容易出錯的題目