Question

（2009•奉賢區二模）已知函數f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
（I）求f（x）的周期和單調遞增區間
（II）若關于x的方程f（x）-m=2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據誘導公式以及二倍角公式，輔助角公式對函數化簡，再結合正弦函數的周期以及單調性的求法即可得到結論；
（II）先根據正弦函數的單調性求出f（x）的值域，再把方程有解轉化為f（x）與m+2的取值范圍相同即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）+1．（1分）
∴周期T=π；（1分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴單調遞增區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，（k∈Z）．（2分）
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，所以2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，
所以f（x）的值域為[2，3]，（4分）
而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]（4分）

點評：本題主要考查三角函數中恒等變換應用以及整體代入思想的應用．在求三角函數的單調性時，一般都用整體代入思想，比如本題中令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

．