【題目】已知函數
，
，其中
.
（1）求函數
在
的值域；
（2）用
表示實數
，
的最大值，記函數
，討論函數
的零點個數.
【答案】（1）
；（2）見解析.
【解析】
（1）求導得到
，討論
和
得到函數
在
單調遞增，計算得到答案.
（2）時，
恒成立，當
時，
恒成立，故
的零點即為函數
的零點，討論在的零點個數得到答案.
（1）
當時，
，
，所以
當時，
，
，所以
所以：當
時，成立，即函數在單調遞增
所以函數在的值域為
，即值域為
.
（2）函數的定義域為
由（1）得，函數在單調遞增，
當時，
，又
，
所以時，恒成立，即時，
無零點.
當時，恒成立，所以的零點即為函數的零點
下面討論函數在的零點個數
，所以
Ⅰ、當
時，因為，
又函數
在區間
遞減，所以
即當時，
，
所以
單調遞減，由
得：當
時
，遞增
當
時
，遞減
當
時
，
，當
時
又
，
當
時，函數有1個零點；
當
時，函數有2個零點；
當
時，函數有3個零點；
Ⅱ、當
時，
，由Ⅰ得：當時，，遞增，
當時，，遞減，所以
，
，
所以當時函數有2個零點
Ⅲ、當
時，
，
，即
成立，由，
所以當時函數有1個零點
綜上所述：當
或時，函數有1個零點；
當
或時，函數有2個零點；
當
時，函數有3個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地擬建造一座體育館，其設計方案側面的外輪廓線如圖所示：曲線
是以點
為圓心的圓的一部分，其中
，
是圓的切線，且
，曲線
是拋物線
的一部分，
，且
恰好等于圓的半徑.
（1）若
米，
米，求
與
的值；
（2）若體育館側面的最大寬度
不超過75米，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線
平面
，四邊形是正方形，且
，點
，
，
分別是線段
，
，
的中點.
(1)求異面直線
與
所成角的大小(結果用反三角表示)；
(2)在線段上是否存在一點
，使
，若存在，求出
的長，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若
(1)當
時,設
所對應的自變量取值區間的長度為
(閉區間
的長度為
),試求的最大值；
(2)是否存在這樣的
使得當
時,?若存在,求出
的取值范圍；若不存在,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下圖為函數
的部分圖象，
、
是它與
軸的兩個交點，
、
分別為它的最高點和最低點，
是線段
的中點，且
為等腰直角三角形.
（1）求
的解析式；
（2）將函數圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，再向左平移
個單位長度得到
的圖象，求的解析式及單調增區間，對稱中心.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
平面ABCD，
，點E，F為PC，PA的中點．
（1）求證：平面BDE⊥平面ABCD；
（2）二面角E—BD—F的大小；
（3）設點M在PB(端點除外)上,試判斷CM與平面BDF是否平行，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
分別為
的三內角A，B，C的對邊，其面積
，在等差數列
中，
，公差
．數列
的前n項和為
，且
．
（1）求數列
的通項公式；
（2）若
，求數列
的前n項和
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；（Ⅱ）設直線與曲線交于
兩點，若點
的直角坐標為
，試求當
時，
的值.
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