Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，,，，，分別為的中點.

（Ⅰ）證明：平面∥平面；

（Ⅱ）若，

（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（1）；（2）

【解析】

（Ⅰ）證出，，利用面面平行的判斷定理即可證明.

（Ⅱ）（1）以為坐標原點，分別為軸，軸,軸的正方向，

建立空間直角坐標系，分別求出平面的一個法向量、平面的一個法向量，利用法向量的數量積求出二面角的夾角.

（2）由平面的法向量，，根據數量積的幾何意義即可求解.

（Ⅰ）連接為等邊三角形，

為的中點，,

平面，,

又平面，平面，平面,

分別為的中點，,

又平面平面，

平面.

又平面，

平面平面.

（Ⅱ）（1）連接，平面平面，平面平面，

平面，

平面.

又兩兩互相垂直.

以為坐標原點，分別為軸，軸,軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系.

，

則，

設平面的一個法向量為，

平面的一個法向量為，

由，得，取,

，

由，得，取，

平面與平面成銳二的余弦值為

（2）面的法向量為,,

.