Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：；

（Ⅲ）設，記在區間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）和.

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)首先求解導函數，然后利用導函數求得切點的橫坐標，據此求得切點坐標即可確定切線方程；

(Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結論；

(Ⅲ)由題意結合(Ⅱ)中的結論分類討論即可求得a的值.

（Ⅰ），令得或者.

當時，，此時切線方程為，即；

當時，，此時切線方程為，即；

綜上可得所求切線方程為和.

（Ⅱ）設，，令得或者，所以當時，，為增函數；當時，，為減函數；當時，，為增函數；

而，所以，即；

同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

所以是中的較大者，

若，即時，；

若，即時，；

所以當最小時，，此時.