Question

【題目】

如圖，在三棱錐中, 側面與側面均為等邊三角形,為中點.

（Ⅰ）證明：平面

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平面

（Ⅱ）二面角的余弦值為

【解析】

證明：

（Ⅰ）由題設AB=AC=SB=SC=SA. 連結OA，△ABC為等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=SA，且AO⊥BC. 又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，且

SO=SA，

從而OA2+SO2=SA2， ……3分

所以△SOA為直角三角形，.

又AO∩BC=O，

所以SO⊥平面ABC. ……6分

（Ⅱ）解法一：

取SC中點M, 連結AM,OM, 由（Ⅰ）知, 得OM⊥SC，AM⊥SC.

為二面角的平面角. ……9分

由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC得

AO⊥平面SBC，

所以AO⊥OM. 又，故

所以二面角的余弦值為……12分

解法二：

以O為坐標原點，射線OB、OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系

設B(1,0,0)，則

SC的中點

，.

故MO⊥SC，MA⊥SC，等于二面角的平面角. ……9分

所以二面角的余弦值為……12分