Question

（1）已知定點、，動點N滿足（O為坐標原點），，，，求點P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（ⅰ）設直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當點運動時，以為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．

Answer 1

（1）；（2），以為直徑的圓恒過定點或.

解析試題分析：本題主要考查雙曲線的定義、標準方程，橢圓的標準方程等基礎知識，考查數形結合思想，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，利用得到N是的中點，數形結合，利用得M、P、共線，在三角形中，利用中位線得，利用得到F₁M⊥PN，在三角形中，中點和高的垂足重合，得|PM|=|PF₁|，由雙曲線的定義可知點P的軌跡為雙曲線，（ⅰ）利用橢圓的標準方程得到點A、B的坐標，設出點P的坐標，從而求出和，利用點P在橢圓上進行的轉化，計算出結果為常數即可，（ⅱ）設出點Q的坐標，根據已知條件求出點M、N的坐標，寫出坐標，利用，列出等式，求出定點坐標.
試題解析：（1）連接ON∵ ∴點N是MF₁中點 ∴|MF₂|=2|NO|=2
∵ ∴F₁M⊥PN   ∴|PM|=|PF₁|
∴|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由雙曲線的定義可知：點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的雙曲線.
點P的軌跡方程是                    4分
（2）（ⅰ），，令，則由題設可知，
直線的斜率，的斜率，
又點在橢圓上，所以（），
從而有.          8分
（ⅱ）設點是以為直徑的圓上任意一點，則，又易求 
得、.
所以、.
故有.又，化簡后得到以
為直徑的圓的方程為.    11分
令，解得或.   13分
所以以為直徑的圓恒過定點或.    14分
考點：雙曲線的定義、標準方程，橢圓的標準方程.