Question

對于定義在區間D上的函數f（x）和g（x），如果對于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么稱函數f（x）在區間D上可被函數g（x）替代．
（1）若f(x)=

x

2

-

1

x

，g(x)=lnx，試判斷在區間[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）記f（x）=x，g（x）=lnx，證明f（x）在(

1

m

，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）設f(x)=alnx-ax，g(x)=-

1

2

x2+x，若f（x）在區間[1，e]上能被g（x）替代，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（1）構造函數h(x)=f(x)-g(x)=

x

2

-

1

x

-lnx，通過研究h（x）的導數得出其單調性，從而得出其在區間[[1，e]上的值域，可以證出f（x）能被g（x）替代；
（2）構造函數k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得在區間(

1

m

，1)上函數k（x）為減函數，在區間（1，m）上為增函數，因此函數k（x）在區間的最小值為k（1）=1，最大值是k（m）大于1，所以不滿足對于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，故f（x）在(

1

m

，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）根據題意得出不等式|alnx-ax+

1

2

x2-x|≤1，去掉絕對值，再根據x-lnx的正負轉化為a≤

1 2 x2-x+1

x-lnx

或a≥

1 2 x2-x+1

x-lnx

，通過討論右邊函數的最值，得出實數a的范圍

解答：解：（1）∵f(x)-g(x)=

x

2

-

1

x

-lnx，
令h(x)=

x

2

-

1

x

-lnx，
∵h′(x)=

1

2

+

1

x2

-

1

x

=

x2+2-2x

2x2

＞0，
∴h（x）在[1，e]上單調增，
∴h(x)∈[-

1

2

，

e

2

-

1

e

-1]．
∴|f（x）-g（x）|≤1，即在區間[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．
（2）記k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得k/(x)=

x-1

x

當

1

m

＜x＜1時，k′（x）＜0，在區間(

1

m

，1)上函數k（x）為減函數，
當1＜x＜m時，k′（x）＞0，在區間（1，m）上函數k（x）為增函數
∴函數k（x）在區間的最小值為k（1）=1，最大值是k（m）＞1，
所以不滿足對于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，
故f（x）在(

1

m

，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）∵f（x）在區間[1，e]上能被g（x）替代，
即|f（x）-g（x）|≤1對于x∈[1，e]恒成立．
∴|alnx-ax+

1

2

x2-x|≤1．-1≤alnx-ax+

1

2

x2-x≤1，
由（2）知，當x∈[1，e]時，x-lnx＞0恒成立，
∴有a≤

1 2 x2-x+1

x-lnx

，
令F(x)=

1 2 x2-x+1

x-lnx

，
∵F′(x)=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x+1)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx- 1 x )

(x-lnx)2

，
由（1）的結果可知

1

2

x+1-lnx-

1

x

＞0，
∴F'（x）恒大于零，
∴a≤

1

2

．
②a≥

1 2 x2-x-1

x-lnx

，
令G(x)=

1 2 x2-x-1

x-lnx

，
∵G′(x)=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x-1)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx+ 1 x )

(x-lnx)2

，
∵

1

2

x+1-lnx+

1

x

＞

1

2

x+1-lnx-

1

x

＞0，
∴G'（x）恒大于零，
∴a≥

e2-2e-2

2(e-1)

，
即實數a的范圍為

e2-2e-2

2(e-1)

≤a≤

1

2

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，通過分類討論解決了不等式恒成立的問題，屬于難題．