Question

已知函數（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）當x∈[0，2]時，函數f（x）恒有意義，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在這樣的實數a，使得函數f（x）在[1，2]上的最大值是2？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由（a＞0，且a≠1），當x∈[0，2]時，函數f（x）恒有意義，知g（x）=-x²+ax+3在[0，2]上恒大于零，由此能求出實數a的取值范圍．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a，且a≠1．分別由，1＜a≤2，2＜a≤4，a＞4四種情況進行討論，能夠推導出存在這樣的實數a，使得函數f（x）在[1，2]上的最大值是2，并能求出a的值．
解答：解：（Ⅰ）∵（a＞0，且a≠1），當x∈[0，2]時，函數f（x）恒有意義，
∴g（x）=-x²+ax+3在[0，2]上恒大于零，
∵a＞0，∴g（x）的對稱軸x=，
①當0＜≤1時，g（x）在[0，2]上的最小值為g（2）=2a-1＞0，
∴，且a≠1；
②當時，g（x）在[0，2]上的最小值為g（0）=3＞0，成立．
綜上所述，實數a的取值范圍是{a|a，且a≠1}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a，且a≠1．
①當時，f（x）在[1，2]上是增函數，
f（x）_max=f（2）=log_a（-4+2a+3）=2，解得a=1，不成立；
②當1＜a≤2時，f（x）在[1，2]上是減函數，
f（x）_max=f（1）=log_a（-1+a+3）=2，解得a=-1不成立，或a=2，成立；
③當2＜a≤4時，f（x）在[1，2]上f（x）_max=f（a）=log_a（-a²+a²+3）=2，解得a=，成立；
④當a＞4時，f（x）在[1，2]上是增函數，
f（x）_max=f（2）=log_a（-4+2a+3）=2，解得a=1，不成立．
綜上，a=，或a=2．
點評：本題考查復合函數中參數的取值范圍的求法，探索是否存在這樣的實數a，使得函數f（x）在[1，2]上的最大值是2．綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高．解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．