Question

【題目】對數列{an}，如果k∈N*及λ1 ， λ2 ， …，λk∈R，使an+k=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+…+λkan成立，其中n∈N* ， 則稱{an}為k階遞歸數列．給出下列三個結論： ①若{an}是等比數列，則{an}為1階遞歸數列；
②若{an}是等差數列，則{an}為2階遞歸數列；
③若數列{an}的通項公式為 ，則{an}為3階遞歸數列．
其中，正確結論的個數是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵{an}是等比數列，

∴an= ，an+1=qan，

∴k=1，λ=q，使an+k=qan+k﹣1成立，

∴{an}為1階遞歸數列，故①成立；②∵{an}是等差數列，

∴an=a1+（n﹣1）d，

∴k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使an+2=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2成立，

∴{an}為2階遞歸數列，故②成立；③∵若數列{an}的通項公式為 ，

∴k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使an+3=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+λ3an+k﹣3成立，

∴{an}為3階遞歸數列，故③成立．

故選D．

【考點精析】利用復合命題的真假對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．