Question

【題目】設，函數.

（1）若，極大值；

（2）若無零點，求實數的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】分析：（1），根據導數的符號可知的極大值為；

（2） ，就分類討論即可；

（3）根據可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導數證明該不等式.

詳解:（1）當時，，

當時，，當時，，

故的極大值為.

（2），

①若時，則，是區間上的增函數，

∵，，

∴，函數在區間有唯一零點；

②若，有唯一零點；

③若，令，得，

在區間上，，函數是增函數；

在區間上，，函數是減函數；

故在區間上，的極大值為，

由于無零點，須使，解得，

故所求實數的取值范圍是．

（3）由已知得，

所以，

故等價于即．

不妨設，令，，

則，在上為單調增函數，

所以即，也就是，故原不等式成立．