Question

【題目】在數列{an}中，a1=1，an+1=1﹣ ，bn= ，其中n∈N* ．
（1）求證：數列{bn}為等差數列；
（2）設cn=bn+1（ ） ，數列{cn}的前n項和為Tn ， 求Tn；
（3）證明：1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）證明：bn+1﹣bn= ﹣ = ﹣ =1，又b1=1．∴數列{bn}為等差數列，首項為1，公差為1
（2））解：由（1）可得：bn=n．

cn=bn+1（ ） =（n+1） ．

∴數列{cn}的前n項和為Tn= +3× + +…+（n+1） ．

= +3× +…+n +（n+1） ，

∴ Tn= + + +…+ ﹣（n+1） = + ﹣（n+1） ，

可得Tn= ﹣

（3）證明：1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）即為：1+ + +…+ ≤2 ﹣1．

∵ = ＜ =2 （k=2，3，…）．

∴1+ + +…+ ≤1+2[（ ﹣1）+（ ）+…+（ ﹣ ）]=1+2 =2 ﹣1．

∴1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）

【解析】（1）只要證明bn+1﹣bn= ﹣ = ﹣ ，為常數．（2）由（1）可得：bn=n．cn=bn+1（ ） =（n+1） ．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．（3）1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）即為：1+ + +…+ ≤2 ﹣1．由于 = ＜ =2 （k=2，3，…）．利用“裂項求和方法”即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．