Question

設{a_n}是正數組成的數列，其前n項和為S_n，并且對于所有的自然數n，a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項.

(1)寫出數列{a_n}的前3項.

(2)求數列{a_n}的通項公式(寫出推證過程).

(3)令b_n=(n∈N^*)，求 (b₁+b₂+b₃+…+b_n－n).

Answer 1

(1) 數列的前3項為2，6，10 ，(2) a_n=4n－2 ，(3)1

解析:

(1)由題意，當n=1時，有，S₁=a₁，

∴，解得a₁=2  當n=2時，有，S₂=a₁+a₂，將a₁=2代入，整理得(a₂－2)²=16，由a₂＞0，解得a₂=6.

當n=3時，有，S₃=a₁+a₂+a₃，

將a₁=2，a₂=6代入，整理得(a₃－2)²=64，由a₃＞0，解得a₃=10.

故該數列的前3項為2，6，10.

(2）解法一:由(1）猜想數列{a_n}  有通項公式a_n=4n－2.

下面用數學歸納法證明{a_n}的通項公式是a_n=4n－2，(n∈N^*）.

①當n=1時，因為4×1－2=2，，又在(1)中已求出a₁=2，所以上述結論成立 

②假設當n=k時，結論成立，即有a_k=4k－2，由題意，有，將a_k=4k－2. 代入上式，解得2k=，得S_k=2k²，

由題意，有，S_k+1=S_k+a_k+1，

將S_k=2k²代入得()²=2(a_k+1+2k²)，

整理得a_k+1²－4a_k+1+4－16k²=0，由a_k+1＞0，解得a_k+1=2+4k，

所以a_k+1=2+4k=4(k+1)－2，

即當n=k+1時，上述結論成立.

根據①②，上述結論對所有的自然數n∈N^*成立.

解法二:由題意知，(n∈N^*)  整理得，S_n=(a_n+2)²,

由此得S_n+1=(a_n+1+2)²，∴a_n+1=S_n+1－S_n=［(a_n+1+2)²－(a_n+2)²］.

整理得(a_n+1+a_n）(a_n+1－a_n－4)=0，

由題意知a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1－a_n=4，

即數列{a_n}為等差數列，其中a₁=2，公差d=4.

∴a_n=a₁+(n－1)d=2+4(n－1)，即通項公式為a_n=4n－2.

解法三:由已知得,(n∈N^*)　　　　　①，

所以有　　　　　　　　　　　　②，

由②式得，

整理得S_n+1－2·+2－S_n=0，

解得，

由于數列{a_n}為正項數列，而，

因而，

即{S_n}是以為首項，以為公差的等差數列.

所以= +(n－1) =n,S_n=2n²，

故a_n=即a_n=4n－2(n∈N^*).

(3)令c_n=b_n－1，則c_n=