Question

已知橢圓，過點且離心率為.

（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的左右頂點，動點M滿足，連接AM交橢圓于點P，在x軸上是否存在異于A、B的定點Q,使得直線BP和直線MQ垂直.

Answer 1

（1）；（2）存在，

試題分析：（1）由離心率，所以①，再把點代入橢圓中得：②，最后③，由①②③三式求出、，即可寫出橢圓方程；
假設存在，設，則直線的方程， 可得， 并設定點，由，直線與直線斜率之積為-1，即 ，化簡得 ，又因為 ，得，可求出，繼而得到定點點坐標.
（1）由題意得：
 得 ，
所以，橢圓方程為
（2）設，則直線的方程，
可得，       
設定點，，
，即 ，  
                       
又因為，所以
進而求得，故定點為.