Question

已知直線l₁：y＝4x和點P(6，4)，過點P引一直線l與l₁交于點Q，與x軸正半軸交于點R，當△OQR的面積最小時，求直線l的方程.

Answer 1

活動：因為直線l過定點P(6，4)，所以只要求出點Q的坐標，就能由直線方程的兩點式寫出直線l的方程.

解：因為過點P(6，4)的直線方程為x=6和y-4=k(x-6).

當l的方程為x＝6時，△OQR的面積為S=72;當l的方程為y-4=k(x-6)時，點R的坐標為R(,0),點Q的坐標為Q(,),此時△OQR的面積S=××

=.

∵S≥0,∴R(R-4)＞0,∴R＞4或R＜0.

變形為(S-72)k²＋(96-4S)k-32=0(S≠72).

因為上述方程根的判別式Δ≥0，所以(96-4S)²+4·32(S-72)≥0,

解得16S(S-40)≥0,即S≥40,此時k=-1.

所以,當且僅當k=-1時，S有最小值40.

此時,直線l的方程為y-4=-(x-6)，即x＋y-10＝0.

點評：此題是一道有關函數最值的綜合題.如何恰當選取自變量，建立面積函數是解答本題的關鍵.怎樣求這個面積函數的最值，學生可能有困難，教師宜根據學生的實際情況進行啟發和指導.