Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的任意三個頂點為頂點的三角形的面積是．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓的右頂點，點在軸上．若橢圓上存在點，使得，求點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設橢圓的半焦距為．依題意，得， ，且．

解得， ．由此可得橢圓的方程．

2）“橢圓上存在點，使得”等價于“存在不是橢圓左、右頂點的點，使得成立” 依題意， ．設， ，則，且，即．可得，由，解得

點橫坐標的取值范圍．

試題解析：

（1）設橢圓的半焦距為．依題意，得， ，且．

解得， ．所以橢圓的方程為．

（2）“橢圓上存在點，使得”等價于“存在不是橢圓左、右頂點的點，使得成立”．

依題意， ．設， ，則，且，

即．

將代入上式，得 ．

因為，所以，

即，所以，解得，

所以 點橫坐標的取值范圍是．