Question

（本題滿分12分）已知棱長為的正方體中，M,N分別是棱CD,AD的中點。（1）求證：四邊形是梯形；（2）求證：

Answer 1

見解析。

試題分析：（1）結合三角形的中位線的性質得到MN=AC，以及MN∥A₁C₁得到證明。
（2）由（1）可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，根據等角定理得到結論。
證明：（1）連接AC，在△ACD中，
∵M，N分別是棱CD，AD的中點，
∴MN是三角形的中位線，
∴MN∥AC，MN=AC。由正方體的性質得：AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁。
∴MN∥A₁C₁，且MN= A₁C₁，即MN≠A₁C₁，∴四邊形MN A₁C₁是梯形。
（2）由（1）可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，
∴∠DNM與∠D₁A₁C₁相等或互補，而∠DNM與∠D₁A₁C₁均是直角三角形的銳角，
∴∠DNM=∠D₁A₁C₁
點評：解決該試題的關鍵是能通過正方體的性質得到梯形的形狀的判定，以及運用等角定理來得到角的相等的證明。