Question

如圖1，在直角梯形中，，，且．現以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求點到平面的距離.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

解析試題分析：（1）取EC的中點為N，則MN平行且等于CD的一半，由AB平行且等于CD的一半及平行公理知，NM平行且等于AB，所以ABNM是平行四邊形，所以AM平行BN，所以AM平行面BEC；（2）由面ADEF⊥面ADCB及DE⊥AD，面面垂直性質定理知，DE⊥面ADCB，所以AD⊥BC，通過計算及勾股定理可知DB⊥BC，由線面垂直的判定定理可得BC垂直面DBE；（3）先算出三棱錐E-DBC的體積及三角形EBC的面積，再利用三棱錐E-DCB的體積與三棱錐D-EBC的體積相等即可求出點D到面BEC的距離.
試題解析：（1）證明：取中點，連結．
在△中，分別為的中點，
所以∥，且．
由已知∥，， 
所以∥，且．           3分
所以四邊形為平行四邊形．
所以∥．                                      4分
又因為平面，且平面，
所以∥平面．                                 4分
（2）證明：在正方形中，．
又因為平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以．                                      6分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，， ．
所以．