Question

已知函數．（1）求函數的單調區間；
（2）設函數.若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）

遞減	遞增	遞減	遞增	遞增

其中    
（2）.

試題分析：（1）函數的定義域為，．設 ，                  
①當時，，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調遞減． 
②當時，（I）由得.
當時，恒成立，
在上單調遞增． 當時，恒成立，在上單調遞減．
（II）由得或；.當時，開口向下，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調遞減．
當 ，開口向上，在上恒成立，則在上恒成立，
此時 在上單調遞增．
（III）由得
若，開口向上，，且，，都在上. 由，即，得或；
由，即，得．
所以函數的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為．  
當時，拋物線開口向下，在
恒成立，即在（0，+恒成立，所以在單調遞減
綜上所述：

遞減	遞增	遞減	遞增	遞增

其中    
（2）因為存在一個使得，
則，等價于.令，等價于“當 時，”.
對求導，得. 因為，由，所以在上單調遞增，在上單調遞減.   
由于，所以，因此.
點評：近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合