Question

【題目】在三棱錐，中，平面，，，，為的中點，為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）在線段上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置并給出證明，若不存在，說明理由；

（3）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點為上的靠近的四等分點；（3）.

【解析】

（1）先證明平面，再利用面面垂直的判定定理得到結論；

（2）取點為上的靠近的四等分點即，平面，利用面面平行，判斷出線面平行，判斷出結論成立；

（3）根據題意，作于，過作的平行線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，平面的法向量為，求出平面的法向量，利用夾角公式求出二面角的余弦值，求出角．

解：（1）由平面，平面，

故，由，，

平面，所以平面，

平面，

故平面平面；

（2）存在點為上的靠近的四等分點即，平面，

證明如下：取的中點，連接，，則，

因為平面，平面，所以平面，

又，平面，

所以平面平面，

又平面，

所以平面；

（3）作于，過作的平行線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

由，，得，，，，，，

故，，，，

，，

設平面的法向量為，

由，得，

平面的法向量為，

由，因為二面角為鈍角，

故所求二面角為.