Question

設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f(x)=ax3-ax2+[

f′(1)

2

-1]x，a∈R．
（1）a表示f′（1）；
（II）若函數(shù)f（x）f在R上存在極值，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閒′（1）為常數(shù)，故將f（x）求導(dǎo)，令x=1，即可用a表示f′（1）；
（2）若函數(shù)f（x）f在R上存在極值，則f′（x）=0必須有兩個(gè)相異根，故△＞0，解不等式即可．

解答：解：（I）f′（x）=3ax2-2ax+

f′(1)

2

-1，
把x=1代入上式得f′(1)=a+

f′(1)

2

-1，
所以f′（1）=2a-2；
（II）由（1）可知：f′（x）=3ax²-2ax+a-2，
a=0時(shí)，f′（x）=-2＜0，所以f（x）在R上單調(diào)遞減，無(wú)極值；
當(dāng)a≠0時(shí)，若函數(shù)f（x）f在R上存在極值，則f′（x）=0必須有兩個(gè)相異根．
故△＞0，即4a²-4×3a×（a-2）＞0，
即4a²-12a（a-2）＞0，
解得0＜a＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)，及函數(shù)存在極值的條件等知識(shí)，難度不大．