Question

已知函數f(x)＝－x³＋3x²＋9x＋a.

(1)求f(x)的單調遞減區間；

(2)若f(x)在區間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．

思路　本題考查多項式的導數公式及運用導數求函數的單調區間和函數的最值，題目中需注意應先比較f(2)和f(－2)的大小，然后判定哪個是最大值從而求出a.

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝－3x²＋6x＋9.

令f′(x)<0，解得x<－1或x>3.

∴函數f(x)的單調遞減區間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．

(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

∴f(2)>f(－2)．

∵在(－1,3)上f′(x)>0，

∴f(x)在(－1,2]上單調遞增．

又由于f(x)在[－2，－1)上單調遞減，

∴f(－1)是f(x)的極小值，且f(－1)＝a－5.

∴f(2)和f(－1)分別是f(x)在區間[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.

∴f(x)＝－x³＋3x²＋9x－2.

∴f(－1)＝a－5＝－7，

即函數f(x)在區間[－2,2]上的最小值為－7.