Question

設定義域為R的函數f（x）=

|x+1|，x≤0 x2-2x+1，x＞0

（Ⅰ）在平面直角坐標系內作出函數f（x）的圖象，并指出f（x）的單調區間（不需證明）；
（Ⅱ）若方程f（x）+2a=0有兩個解，求出a的取值范圍（只需簡單說明，不需嚴格證明）．
（Ⅲ）設定義為R的函數g（x）為奇函數，且當x＞0時，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數解析式，可得函數的圖象，從而可得函數的單調區間；
（Ⅱ）在同一坐標系中同時作出y=f（x），y=-2a圖象，由圖可知f（x）+2a=0有兩個解，須-2a=0或-2a＞1，從而可求a的取值范圍；
（Ⅲ）求出x＜0時，函數的解析式，即可求得g（x）的解析式．

解答：解 （Ⅰ）如圖．…（3分）
單增區間：[-1，0]，[1，+∞）單減區間（-∞，-1]，[0，1]…（5分）
（Ⅱ）在同一坐標系中同時作出y=f（x），y=-2a圖象，由圖可知f（x）+2a=0有兩個解
須-2a=0或-2a＞1，即a=0或a＜-

1

2

   …（8分）
（Ⅲ）當x＜0時，-x＞0，∴g（-x）=（-x）²-（-2x）+1=x²+2x+1，
因為g（x）為奇函數，所以g（x）=-x²-2x-1，…（10分）
且g（0）=0，所以g（x）=

x2-2x+1，x＞0 0，x=0 -x2-2x-1，x＜0

…（12分）

點評：本題考查分段函數的運用，考查函數的圖象，考查數形結合的數學思想，正確做好函數的圖象是關鍵．