Question

【題目】已知函數(shù)，且．

（1）求實數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

（3）求實數(shù)的取值范圍，使得關(guān)于的方程分別為：

①有且僅有一個實數(shù)解；②有兩個不同的實數(shù)解；③有三個不同的實數(shù)解．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析；

（3）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）將已知條件，解得，再結(jié)合是正數(shù)，可得；
（2）將（1）的結(jié)論代入得,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可設(shè)，且，通過作差化簡整理，最后得到，說明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

（3）首先，方程有一個解，然后分和加以討論：當(dāng)且時，方程轉(zhuǎn)化為，解得，解不等式得或，當(dāng)時，則，解得，解不等式得；最后綜合可得方程解集的情況．

（1）由，得，，∵，∴．

（2）由（1），，從而，只需研究在上的單調(diào)性．

當(dāng)時，．

設(shè)，且，則

，

∵，∴，，，

∴，即．

∴函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．

（3）原方程即為 ……①

恒為方程①的一個解．

若時方程①有解，則，解得，

由，得；

若且時方程①有解，則，解得，

由且，得或．

綜上可得，當(dāng)時，方程有且僅有一個解；

當(dāng)時，方程有兩個不同解；

當(dāng)時，方程有三個不同解．