Question

如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結、,其中.

(Ⅰ)求證:平面；
(Ⅱ)在線段上是否存在點使得平面?若存在,求出點的位置；若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點到平面的距離.

Answer 1

(Ⅰ)答案詳見解析；(Ⅱ)存在，；(Ⅲ) .

試題分析：(Ⅰ)三角形和三角形中，各邊長度確定，故可利用勾股定理證明垂直關系
，進而由線面垂直的判定定理可證明平面；(Ⅱ)要使得平面，只需，因為，故；(Ⅲ)點到平面的距離，就是點到平面垂線段的長度，如果垂足位置不易確定，可考慮等體積轉化，該題中點到面的距離確定，故可利用求點到平面的距離.
試題解析：(Ⅰ)連結,由翻折不變性可知,,,在中,,所以， 在圖中,易得,
在中,,所以，又,平面,平面,所以平面.

(Ⅱ)當為的三等分點(靠近)時,平面.證明如下:
因為,,所以 ， 又平面,平面,所以平面.
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以為三棱錐的高.
設點到平面的距離為,由等體積法得, 即,又,, 所以, 即點到平面的距離為.