Question

在四棱柱中，底面，底面為菱形，為與交點，已知,.

（1）求證：平面；
（2）求證：∥平面；
（3）設點在內（含邊界）,且，說明滿足條件的點的軌跡，并求的最小值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）點在線段上，的最小值．

試題分析：（1）求證：平面，證明線面垂直，即證線線垂直，即在平面找兩條相交直線與垂直，由于底面為菱形，則，又底面，得底面，即，從而得證；（2）求證：∥平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對邊平行，注意到是的中點，連接,交于點，連接，證得四邊形是平行四邊形，從而得∥，從而可證∥平面.；（3）連接，則，又在中，,又為中點，所以，得平面，由已知可知，∥，由，得，故點一定在線段上，這樣就得到點的軌跡，進而可得的最小值.
試題解析：（1）依題意, 因為四棱柱中，底面，
所以底面.
又底面,所以.
因為為菱形，所以.而，所以平面.       4分
（2）連接,交于點，連接.依題意，∥,且，,
所以為矩形.所以∥.又,,,
所以=，所以為平行四邊形，則∥.
又平面，平面,
所以∥平面.                                         9分

（3）在內，滿足的點的軌跡是線段，包括端點.
分析如下：連接，則.
由于∥,故欲使，只需,從而需.
又在中，,又為中點，所以.
故點一定在線段上.當時，取最小值.
在直角三角形中，,,,
所以.                                14分