Question

已知橢圓的離心率為，F(xiàn)為橢圓在x軸正半軸上的焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且，定點(diǎn)A（－4，0）.

   （1）求證：當(dāng)時(shí).，；

   （2）若當(dāng)時(shí)有，求橢圓C的方程；

   （3）在（2）的條件下，當(dāng)M、N兩點(diǎn)在橢圓C運(yùn)動時(shí)，當(dāng) 的值為6時(shí), 求出直線MN的方程.

 

Answer 1

（1）見解析

（2）橢圓C的方程為

（3）直線的MN方程為，或。

解析:

（1）設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，

由M，N兩點(diǎn)在橢圓上，

若，則（舍去），   （4分）

  。（5分）

   （2）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè) （6分）

又，， （8分）

橢圓C的方程為。  （9分）

   （3）因?yàn)?img width=327 height=28 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/80/243680.gif">=6,  （10分）

由(2)知點(diǎn)F(2,0), 所以|AF|=6,  即得|y_M-y_N|=  （11分）

當(dāng)MN⊥x軸時(shí), |y_M-y_N|=|MN|=, 故直線MN的斜率存在, （12分）

不妨設(shè)直線MN的方程為

聯(lián)立，得，

=, 解得k=±1。

此時(shí)，直線的MN方程為，或。  （14分）