Question

【題目】已知點F2 ， P分別為雙曲線 的右焦點與右支上的一點，O為坐標原點，若2 |，且 ，則該雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設P（x，y），F1（﹣c，0），F2（c，0），

由題意可知：2 = + ，則M為線段PF2的中點，則M（ ， ），

則 =（c，0）， =（ ， ），

則 = ×c= 解得：x=2c，

由丨 丨=丨 丨=c，即 =c，解得：y= c，

則P（2c， c），由雙曲線的定義可知：丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，

即 ﹣ =2a，a=（ ﹣1）c，

由雙曲線的離心率e= = ，

∴該雙曲線的離心率 ，

故選D．

方法二：由題意可知：2 = + ，則M為線段PF2的中點，

則OM為△F2F1P的中位線，

=﹣ =﹣丨 丨丨 丨cos∠OF2M= ，

由丨 丨=丨 丨=c，則cos∠OF2M=﹣ ，

由正弦定理可知：丨OM丨2=丨 丨2+丨 丨2﹣2丨 丨丨 丨cos∠OF2M=3c2，

則丨OM丨= c，則丨PF1丨=2 ，丨PF2丨=丨MF2丨=2c，

由雙曲線的定義丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，a=（ ﹣1）c，

由雙曲線的離心率e= = ，

∴該雙曲線的離心率 ，

故選D．