Question

已知數列{an}滿足：a1=1，an+1•an=n，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4的值，并證明：an+2=

1

an+1

+an； 
（2）證明：2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1．

Answer 1

分析：（1）由已知令n=2，3，4代入即可求得a₂，a₃，a₄的值，對

1

an+1

+an通分再用已知即可證明；
（2）先證2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，由（1）知

1

an

=a_n+1-a_n-1，

1

an-1

=an-an-2，…，

1

a3

=a4-a2，

1

a2

=a3-a1，

1

a1

=1，將各式相加再用基本不等式即可證明；再證

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1，先證

3- 5

2

n

≤a_n≤

3+ 5

2

n-1

（n≥2，n∈N^*），用數學歸納法即可證明，n=1時單獨檢驗即可，綜上即可得到結論；

解答：解：（1）由題意得a2=

1

a1

=1，a3=

2

a2

=2，a4=

3

a3

=

3

2

，下面證明：an+2=

1

an+1

+an，

1

an+1

+an=

1+anan+1

an+1

=

n+1

an+1

=a_n+2；
證明：（2）先證2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，
由（1）知

1

an

=a_n+1-a_n-1，

1

an-1

=an-an-2，…，

1

a3

=a4-a2，

1

a2

=a3-a1，

1

a1

=1，
將以上式子相加得：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=a_n+1+a_n-a₂-a₁+1=a_n+1+a_n-1≥2

an+1an

-1=2

n

-1；
為證

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1，先證

3- 5

2

n

≤a_n≤

3+ 5

2

n-1

（n≥2，n∈N^*），
用數學歸納法：
①當n=2時，a₂=1，結論顯然成立；
②假設n=k時，

3- 5

2

k

≤a_k≤

3+ 5

2

k-1

成立，
則當n=k+1時，由a_k+1a_k=k⇒a_k=

k

ak+1

，
由歸納假設有

3- 5

2

k

≤a_k≤

3+ 5

2

k-1

⇒

3- 5

2

•

k

k-1

≤a_k+1≤

3+ 5

2

k

，
因為

k

k-1

≥

k+1

，所以

3- 5

2

k+1

≤a_k+1≤

3+ 5

2

k

也成立，
綜上，

3- 5

2

n

≤a_n≤

3+ 5

2

n-1

＜

3+ 5

2

n

（n≥2，n∈N^*），
所以，當n≥2時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=a_n+1+a_n-1=

n

an

+a_n-1＜

n

3+ 5 2 n

+

3+ 5

2

n

-1=3

n

-1，
又n=1時，顯然有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1成立，
綜上所述，2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1．

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查遞推式的應用，考查學生分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大，能力要求高．