Question

（2012•湛江一模）三棱錐P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分別是PC、PB的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2 ）求證：AD⊥平面PBC；
（3）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）根據三角形中位線定理可得DE∥BC，進而由線面平行的判定定理可得DE∥平面ABC；
（2）根據等腰三角形三線合一可得AD⊥PC，結合PA⊥平面ABC，BC⊥AC，可證得BC⊥平面PAC，進而可得AD⊥BC，由線面垂直的判定定理可得AD⊥平面PBC；
（3）由已知可判斷四棱錐A-BCDE的底面為直角梯形，高為AD，求出底面積和高后代入體積公式可得答案．

解答：證明：（1）∵D、E分別是PC、PB的中點
∴DE∥BC
又∵DE?平面ABC，BC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC
（2）∵PA=AC，D為PC的中點
∴AD⊥PC
PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC
又∵BC⊥AC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
∵AD?平面PAC
∴AD⊥BC
又∴BC∩PC=C
∴AD⊥平面PBC；
解：（3）∵在PA=AC=BC=2，
∴等腰直角三角形PAC中，AD=CD=

2

直角梯形BCDE中，DE=

1

2

BC=1，CD=

2

∴直角梯形BCDE的面積S=

3 2

2

∴四棱錐A-BCDE的體積V=

1

3

S•AD=1

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間直線與平面位置關系的幾何特征及判定定理，以及錐體的體積公式是解答的關鍵．