Question

（本小題滿分14分）已知定義在實數集上的函數f_n(x)=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為，且滿足，a，x₁，x₂為常數,x₁≠x₂．
(1)試求a的值；
(2)記函數，x∈（0，e]，若F(x)的最小值為6，求實數b的值；
(3)對于(2)中的b，設函數，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函數g(x)圖象上兩點，若，試判斷x₀，x₁，x₂的大小，并加以證明．

Answer 1

解：（1），，                            ………1分
依題意，，得，．            ………3分
（2）,，                  ………4分
①若，，在上單調遞減，
的最小值是，由得，（舍去）；      ………6分
②若，，令得，
當時,,在上單調遞減;
當時,,在上單調遞增;
所以的最小值是，由得，．          ………8分
（3），結合圖象猜測．………9分
只需證，∵，
故只需證，
即證：，且，     ………10分
設，，當時，，
∴在上是增函數，，∴，而
即， ………12分
設，則，當時，，
∴在上是減函數，，∴，而
即．綜上所述，  ．   ………14分

略