Question

如圖，在平行四邊形OABC中，點O是原點，點A和點C的坐標分別是（3，0）、（1，3），點D是線段AB上的動點．
（1）求AB所在直線的一般式方程；
（2）當D在線段AB上運動時，求線段CD的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）求出AB所在直線的斜率，利用點斜式求出AB所在的直線方程；
（2）設點M的坐標是（x，y），點D的坐標是（x₀，y₀），利用平行四邊形，推出M與D坐標關系，利用當D在線段AB上運動，求線段CD的中點M的軌跡方程．

解答：解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直線的斜率為：K_AB=K_OC=3．
∴AB所在直線方程是y-0=3（x-3），即3x-y-9=0．
（2）：設點M的坐標是（x，y），點D的坐標是（x₀，y₀），
由平行四邊形的性質得點B的坐標是（4，6），
∵M是線段CD的中點，∴x=

x0+1

2

，y=

y0+3

2

，
于是有x₀=2x-1，y₀=2y-3，
∵點D在線段AB上運動，
∴3x₀-y₀-9=0，（3≤x₀≤4），
∴3（2x-1）-（2y-3）-9=0
即6x-2y-9=0，（2≤x≤

5

2

）．

點評：本題考查直線方程的求法，與直線有關的動點的軌跡方程的求法，考查轉化思想與計算能力，確定M與D坐標關系是關鍵．