Question

（2012•肇慶二模）已知點(diǎn)P是圓F₁：(x+

3

)2+y2=16上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F₂與點(diǎn)F₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．線段PF₂的中垂線與PF₁交于M點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)軌跡C與x軸的兩個(gè)左右交點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)K是軌跡C上異于A，B的任意一點(diǎn)，KH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HK到點(diǎn)Q使得HK=KQ，連接AQ延長(zhǎng)交過(guò)B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D，N為DB的中點(diǎn)．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）先確定F₁、F₂的坐標(biāo)，再根據(jù)線段PF₂的中垂線與PF₁交于M點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義，可得點(diǎn)M的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，從而可得點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）先確定Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上，再驗(yàn)證

OQ

•

NQ

 =0，即可知直線QN與圓O相切．

解答：解：（1）由題意得，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)（1分）
圓F₁的半徑為4，且|MF₂|=|MP|（2分）
從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4＞|F1F2|=2

3

（3分）
∴點(diǎn)M的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)軸2a=4，焦距2c=2

3

，
則短半軸b=

a2-c2

=

4-3

=1，（4分）
橢圓方程為：

x2

4

+y2=1（5分）
（2）設(shè)K（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1．
∵HK=KQ，∴Q（x₀，2y₀）．∴OQ=

x02+(2y02)

=2（6分）
∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上．即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．（7分）
又A（-2，0），∴直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．                      （8分）
令x=2，得D(2，

8y0

x0+2

)．                                            （9分）
又B（2，0），N為DB的中點(diǎn)，∴N(2，

4y0

x0+2

)．                          （10分）
∴

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．                               （11分）
∴

OQ

•

NQ

=x0(x0-2)+2y0•

2x0y0

x0+2

=x0(x0-2)+

4x0y02

x0+2

=x0(x0-2)+

x0(4-x02)

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．                                          （13分）
∴

OQ

⊥

NQ

．∴直線QN與圓O相切．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以圓的方程為載體，考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義判斷軌跡的類型，利用向量的數(shù)量積為0，判斷直線QN與圓O相切．