Question

已知函數，（其中為自然對數的底數，常數）.
（1）若對任意，恒成立，求正實數的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當取最大值時，試討論函數在區間上的單調性；
（3）求證：對任意的，不等式成立.

Answer 1

（1）；（2）在區間（3）見解析

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，求解函數最值問題和不等式的證明。主要是對于承參數問題的分類討論思想要深刻體會。
解：（1）由對任意恒成立，即對任意恒成立
令則 得
故在區間上單調遞增，在區間上單調遞減， ----------------（2分）
得
..---------（1分）
（2）由（1）知   此時,

故在區間.----------（3分）
（3）由（2）知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
故當時.即即.
從而，對任意成立.--------------------- -------（2分）
于是