Question

（2012•徐州模擬）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區域內作答，
若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，半徑分別為R，r（R＞r＞0）的兩圓⊙O，⊙O₁內切于點T，P是外圓⊙O上任意一點，連PT交⊙O₁于點M，PN與內圓⊙O₁相切，切點為N．求證：PN：PM為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

2 1 3 4

（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣M的特征值及特征向量；
C．選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標系x0y中，求圓C的參數方程為

x=-1+rcosθ y=rsinθ

(θ為參數r＞0），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+

π

4

)=2

2

．若直線l與圓C相切，求r的值．
D．選修4-5：不等式選講
已知實數a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=1，a²+b²+c²=1，求證：1＜a+b＜

4

3

．

Answer 1

分析：A．先作出兩圓的公切線TQ，連接OP，O₁M，利用切割線定理得比例關系式，再由弦切角定理知證得OP∥O₁M，最后平行線分線段成比例即可證出

PM

PN

=

PN

PT

=

R-r R

為定值．
B．（1）根據逆矩陣的計算公式直接寫出矩陣M的逆矩陣；
（2）根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
C．先將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，將圓C的參數方程化為普通方程，再利用直線和圓的位置關系結合點到直線的距離公式求解即可．
D．利用條件得到a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的兩個不等實根，從而由根的判別式大于0得到c的范圍，再結合（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，及a＞b＞c，最后得到-

1

3

＜c＜0，從而有1＜a+b＜

4

3

．

解答：解：A．作兩圓的公切線TQ，連接OP，O₁M，
則PN²=PM•PT，所以

PN2

PT2

=

PM

PT

．…（3分）
由弦切角定理知，∠POT=2∠PTQ，∠MO₁T=2∠PTQ，于是∠POT=∠MO₁T，
所以OP∥O₁M，…（6分）
所以

PM

PT

=

OO1

OT

=

R-r

R

，所以

PN2

PT2

=

R-r

R

，…（8分）
所以

PM

PN

=

PN

PT

=

R-r R

為定值．   …（10分）
B．（1）M-1=

4 5 - 1 5 - 3 5 2 5

．…（4分）
（2）矩陣A的特征多項式為f(x)=

.

λ-2 -1 -3 λ-4

.

=(λ-2)(λ-4)-3=λ2-6λ+5，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為1或5，…（6分）
當λ=1時 由二元一次方程

-x-y=0 -3x-3y=0

得x+y=0，令x=1，則y=-1，
所以特征值λ=1對應的特征向量為α1=

1 -1

．…（8分）
當λ=5時 由二元一次方程

3x-y=0 -3x+y=0

得3x-y=0，令x=1，則y=3，
所以特征值λ=5對應的特征向量為α2=

1 3

．…（10分）
C．將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程得：x-y-4=0，…（3分）
將圓C的參數方程化為普通方程得：（x+1）²+y²=r²，…（6分）
由題設知：圓心C（-1，0）到直線l的距離為r，即r=

|(-1)-0-4|

12+(-1)2

=

5 2

2

，
即r的值為

5 2

2

．…（10分）
D．因為a+b=1-c，ab=

(a+b)2-(a2+b2)

2

=c²-c，…（3分）
所以a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的兩個不等實根，
則△=（1-c）²-4（c²-c）＞0，得-

1

3

＜c＜1，…（5分）
而（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，
即c²-（1-c）c+c²-c＞0，得c＜0，或c＞

2

3

，…（8分）
又因為a＞b＞c，所以c＜0．所以-

1

3

＜c＜0，即1＜a+b＜

4

3

．   …（10分）

點評：本題主要考查一般形式的柯西不等式、圓的有關知識，逆變換與逆矩陣，考查運算求解能力還考查曲線的極坐標方程等基本知識．