Question

如圖，矩形ABCD與矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角為a，記兩個矩形對角線的交點分別為Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求證：QQ′∥平面ABB′；
（2）當，且時，求異面直線AC與DB′所成的角；
（3）當a＞b，且AC⊥DB'時，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BB′，由題意可得QQ′∥BB′，而BB'?平面ABB′，所以QQ′∥平面ABB′．
（2）分別寫出兩條直線所在的向量，，然后利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為兩條直線的夾角．
（3）根據題中條件得到pa=b²，再分別求出兩個平面的法向量，然后利用向量間的有關運算切線兩個法向量的夾角的余弦值，再轉化為二面角的平面角的余弦值．
解答：解：（1）連接BB′，
∵Q，Q′分別是BD，B′D′的中點，
∴QQ′∥BB′，而BB'?平面ABB′，
∴QQ′∥平面ABB′；
（2）以A為原點，AB，AD分別為X軸，Z軸建立空間直角坐標系，如圖：
由條件可設A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，0，b），D（0，0，b），又，
AB′=a，
∴，，，，
設異面直線AC與DB′所成角為θ，
則
∵b²=2a²，
∴
所以異面直線AC與DB'所成角為
（3）設B′（p，q，0），C′（p，q，b），
∵AB′=a，
∴p²+q²=a²，∴，
又有，并且AC⊥DB′，
∴，得pa=b²，
設平面AB′C′D的法向量為=（x，y，z），
∵，，，，
∴，
設平面ABCD的法向量為，則=（0，±1，0），
∴．
點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，進而得到線面的平行關系與垂直關系，也有利于建立坐標系，利用向量解決空間角、空間距離等問題．