Question

【題目】已知正項數列{an} 為等比數列，等差數列{bn} 的前n 項和為Sn （n∈N* ），且滿足：S13=208，S9﹣S7=41，a1=b2，a3=b3．

（1）求數列{an}，{bn} 的通項公式；

（2）設Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （n∈N* ），求Tn；

（3）設，是否存在正整數m，使得cm·cm+1·cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，m=2．

【解析】分析：（1）先根據已知條件列方程求出b1=﹣2，d=3,得到等差數列{bn}的通項，再求出，即得等比數列{an}的通項.(2)利用錯位相減法求Tn.(3)對m分類討論，探究是否存在正整數m，使得cm·cm+1·cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．

詳解：（1）等差數列{bn} 的前n 項和為Sn （n∈N* ），且滿足：S13=208，S9﹣S7=41，

即解得b7=16，公差為3，

∴b1=﹣2，bn=3n﹣5，

∵a1=b2=1，a3=b3=4，數列{an} 為等比數列，

∴an=2n﹣1，n∈N*

（2）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+（3n﹣5）2n﹣1，①

∴2Tn=﹣2×2+1×22+…+（3n﹣5）2n，②

①﹣①得﹣Tn=﹣2+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣5）2n=（8﹣3n）2n﹣8，

∴Tn=（3n﹣8）2n+8，n∈N*

（3）∵設，

當m=1時，c1c2c3+8=1×1×4+8=12，3（c1+c2+c3）=18，不相等，

當m=2時，c2c3c4+8=1×4×7+8=36，3（c2+c3+c4）=36，成立，

當m≥3且為奇數時，cm，cm+2為偶數，cm+1為奇數，

∴cmcm+1cm+2+8為偶數，3（cm+cm+1+cm+2）為奇數，不成立，

當m≥4且為偶數時，若cmcm+1cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2），

則（3m﹣5）2m（3m+1）+8=3（3m﹣5+2m+3m+1），

即（9m2﹣12m﹣8）2m=18m﹣20，（*）

∵（9m2﹣12m﹣8）2m≥（9m2﹣12m﹣8）24＞18m﹣20，

∴（*）不成立，綜上所述m=2．