Question

已知實數x，y∈（0，

π

2

），且tanx=3tany，則x-y的最大值是

π

6

．

Answer 1

分析：先用兩角差的正切公式和條件，求出tan（x-y）的表達式，然后再由已知代換，利用均值不等式求得tan（x-y）的最大值，再已知的條件求出x-y的范圍從而得到結果．

解答：解：∵x，y∈（0，

π

2

），∴tanx=3tany＞0，
∴tan（x-y）=

tanx-tany

1+tanx•tany

=

2tany

1+3tan2y

=

2

1 tany +3tany

，
∵

1

tany

+3tany≥2

3

，當且僅當

1

tany

=3tany時取等號，即tany=

3

3

，
∴tan（x-y）=

2

1 tany +3tany

≤

3

3

，即tan（x-y）的最大值為

3

3

，
∵x，y∈（0，

π

2

），∴-

π

2

＜x-y＜

π

2

，則x-y最大值為

π

6

，
故答案為：

π

6

．

點評：本題主要考查兩角和與差的正切函數，基本不等式的應用，注意角的范圍，考查計算能力，屬于中檔題．