Question

已知實數，函數。
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）若在區間上是增函數，求實數的取值范圍；
（3）若當時，函數圖象上的點均在不等式，所表示的平面區域內，求實數 的取值范圍。

Answer 1

(1)單調遞增；（2）≤a<0或0<a≤1；（3）.

試題分析：本題考查導數的應用，（1）判斷討論函數的單調性，可以求出其導數，然后解不等式，其解集區間是函數的單調增區間，不等式的解集區間是函數的單調減區間；（2）在區間上是增函數，說明不等式在區間上恒成立，本題中可求出，因此不等式，由于，則在上恒成立，即的最小值，記，它是二次函數，要求它的最小值，可分和討論；（3）題意是不等式在上恒成立，記，則當時，恒成立，求其導數，當時，在上，，為減函數，不恒成立（如），時，此時要討論與的大小，以便討論函數的單調性，求出其最小值，因為不等式恒成立，就是.
（1）當a=1時，，
所以，                                2分
因為，所以恒成立，
所以在上單調遞增；                                    3分
（2）因為，所以，
因為在[1, 4]上是增函數，所以在[1, 4]上恒成立，
即在[1, 4]上恒成立，①                                5分
令，對稱軸為x=1，
因為，所以當時，要使①成立，只需g(1)≥0，解得：a≤1，所以0<a≤1，
當時，要使①成立，只需g(4)≥0，解得：a≥，所以≤a<0，
綜上，≤a<0或0<a≤1；                                            8分
（3）由題意，有在上恒成立，
令，則在上恒成立，②
所以，                        10分
當a<0時，因為x>2，則，所以在上單調遞減，
又因為，所以②不恒成立，                12分
當時，，此時在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以只需，解得：，
所以時②恒成立；                                            14分
當時，，此時在上單調遞增，
所以，
因為，所以，所以②不恒成立，
綜上，實數 的取值范圍是：。                        16分