Question

【題目】在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知 =2，cosB= ，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ =2，cosB= ， ∴cacosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
聯立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB= = = ，
由正弦定理 = 得：sinC= sinB= × = ，
∵a=b＞c，∴C為銳角，
∴cosC= = = ，
則cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC= × + × =
【解析】（Ⅰ）利用平面向量的數量積運算法則化簡 =2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函數間基本關系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．